▷ Concentración, Tiempo de vida media, Presión, Orden de Reacción, Velocidad de reacción, Temperatura

Esto es lo que tiene que saber un Ingeniero que trabaja en PEMEX

En la siguiente presentación, se desarrollará un problema de aplicación propuesto en el libro Diseño de Reactores Homogéneos facilitado por la Escuela Superiores de Ingeniería Química e industrias Extractivas (ESIQIE), lo siguiente ayudará al ingeniero químico y estudiantes de la carrera a desarrollar ecuaciones de cinética de reacción para observar el comportamiento de un reactivo A y su transformación en un reactor intermitente, con estos resultados será posible simular y modificar las variables de operación como presión, temperatura, tiempo, concentración a nuestra conveniencia antes de aplicarlo en la vida real, se recomienda usar el simulador PRO II para experimentar.   

Cinética química ejercicio resuelto

La descomposición de un reactivo “A”, en la fase gaseosa, ocurre con la siguiente estequiometría; 

A → 0.8 R + 0.6 S + 0.4 T

Si la reacción se efectúa a 330 ºC en un reactor intermitente a volumen constante, y se alimenta con una mezcla gaseosa que consiste en 75% mol de “A” y 25% de un inerte a la presión total de 10 atmosfera, deduzca: 

A) La concentración de “S” a los 300 seg.

B) El tiempo de vida media.

C) La presión total al finalizar la reacción.

D) El orden de la reacción.

E) El valor de la velocidad de reacción a los 300 seg.

F) La temperatura a la cual se debe operar el reactor para reducir la presión parcial inicial del reactivo a un cuarto de su valor en 600 seg, con igual alimentación y una energía de activación de 15 Kcal/mol.

Dato adicional:

considere el comportamiento ideal de los gases;

K = 0.5 min^-1 a 300°C

D) El orden de la reacción

Tomando en cuenta el dato adicional del problema, donde menciona que K = 0.5 min^-1, debemos considerar las unidades en las que se encuentra. la imagen de abajo podrás observar como he realizado las operaciones para -rA = K CAⁿ ,para n = 0, n= 1 y n = 2, podrás coincidir conmigo que la orden de la reacción es de n = 1 por la coincidencia de unidades

y ya que el orden de la reacción es n = 1, entonces nuestra ecuación 1 será;

-rA = K CAⁿ

-rA = K CA¹

-rA = K CA  ... ec.1

A) La concentración de “S” a los 300 seg.

Observando la reacción química 

aA → rR + sS + tT

A → 0.8 R + 0.6 S + 0.4 T

Podemos determinar la ecuación que represente la concentración de S

Como te habrás dado cuenta, la ecuación que se usará para determinar la Concentración de "S" está dada por C_s = 0.6 C_A0X_A , eso quiere decir que necesitamos una ecuación para C_A0 y para X_A.

La ecuación anterior se usa para gases ideales, no hubo ningún problema en esta fase, pues los datos se tenia a la mano principalmente la concentración inicial del 75%, por tanto se tiene que C_A0 = 0.1515 mol/L

La ecuación 4 representa la rapidez con la que se consume A respecto al tiempo, podemos sustituir esta ecuación en la ecuación 1, esa, la de orden n = 1 que vimos anteriormente.

Con ella obtenemos la ecuación 5 el cual nos conduce ahora a calcular C_A , X_A ;

Usando la ecuación de abalance para la concentración de "A", se obtiene la que tenemos la "ecuación 6" (linea antepenúltima), el cual representa a la concentración inicial de "A" (C_A0 ), menos la concentración inicial multiplicada por la fracción consumida (C_A * X_A), estos multiplicada por su relación estequiométrica, factorizamos y nos queda la ecuación 6.

Si sustituimos C_A en la ecuación 5 tenemos;

La ecuación 7 (imagen de arriba) nos ayudará a poner la ecuación 5 en función de "X_A".

En esta ecuación podemos observar que (C_A0 ) es divisible entre sí, despejamos "K", y en la tercer linea puedes pasar la derivada al numerador, pero éste siendo la derivada inversa o la menos uno, se convierte en la integral, y como integramos en función a "X_A", el valor inferior será 0 (Concentración inicial) a X_A (Concentración al tiempo "t", donde t = 300 seg)

Ahora comenzamos a integrar la ecuación de la siguiente forma, lo hago paso a paso para que lo comprendas;

Hasta aquí te recomiendo mirar tu formulario o verificar con tu calculara que el ln (1) = 0, y como estamos buscando la concentración X_A a t = 300 seg, despejamos "X_A"

Algo importante en la imagen de arriba es la aplicación de la exponencial en ambos términos para eliminar logaritmo de la ecuación, una exponencial elevado a un "ln" es igual a uno, puedes anotarlo en tu formulario pues se usa mucho en este tipo de problemas.

La ecuación 8 nos solicita únicamente dos incógnitas, la k = 0.5 min^-1 y t = 300 seg, eso quiere decir que podemos resolverla, no sin antes convertir 300 seg a minutos, estas variables son divisibles entre si, obteniendo X_A sin dimensiones;

t = 300 seg  = 5 min

X_A = 1 - e^-kt

X_A = 1 - e^-(0.5)(5)

X_A = 1 - e^-2.5

X_A = 0.9117915

Con el valor de la conversión X_A nos podemos dar cuenta que El reactivo A se ha consumido casi al 90% a los 300 seg. –”Este mismo valor nos hacia falta para obtener la concentración de “S” (C_s) a los 300 seg (5 min), podemos despejarlo de la Ec. 2 al igual que C_A0 = 0.15155049 mol/L

La ecuación 2 que representa la concentración de "S" (C_s) se encuentra en función de X_A ,C_A0 y los valores ya han sido calculados;

X_A = 0.9117915

C_A0 = 0.1515 mol/L

Ecuación 2; 

C_s = 0.6 (C_A0)(X_A)

C_s = 0.6 (0.1515 mol/L)(0.9117915)

C_s = 0.08346628 mol/L

B) El tiempo de vida media.

Para obtener el tiempo de vida media podemos suponer que el valor de conversión es de 0.5 (cuando el reactivo limitante se ha consumido al 50%, de igual manera despejar t de la ecuación K;

Con anterioridad hemos calculado X_A a los 300 seg, a los 300 seg tuvimos una conversión del 91% aproximadamente, en esta ocasión se nos pide el tiempo de vida vida, es por ello que en la imagen de arriba puedes observar que una conversión del 100% equivale a 1 en decimales y una conversión del 50%, equivale a 0.5 en decimales, dicho eso, podemos usar estos valores en la integral para resolver el t_1/2;

Esto quiere decir que que la concentración de "A" (C_A), se ha consumido 50% al minuto 1.38, cabe mencionar que el comportamiento de reacción es exponencial, eso quiere decir; que al inicio de la reacción la transformación de "A" puede ser rápida y cada vez disminuyendo hasta tener un comportamiento asintótico, eso depende de muchos factores como la teoría de colisiones, la actividad, la agitación en el reactor y otros más. 

C) La presión total al finalizar la reacción.

Al finalizar la reacción se espera que el reactivo limitante "A" se consuma en su totalidad X_A = 1

La fórmula para calcular la presión considerando gases ideales es;

P_T = P_T0 (1 + Ɛ_AX_A) 

Donde;

X_A = 1 (Considerando que el reactivo se ha consumido al 100%)

Ɛ_A = ΔnY_A0 / a

P_T0 = 10 atm

Y_A0 = 0.75; Es la concentración inicial de la mezcal, recordad que el problema menciona que se encuentra en una concentración del 75% contra el 25% de un inerte (Y_i0)

Calculando Δn, usando los coeficientes estequiométricos de la reacción química;

1 A → 0.8 R + 0.6 S + 0.4 T

Δn = Σn productos - Σn Reactivos

Δn = (0.8 + 0.6 + 0.4) - (1)

Δn = 0.8

Ya que inicialmente teníamos 1 mol, y al finalizar la reacción Δn ha disminuido, podemos deducir que se trata de una compresión.

Calculando Ɛ_A;

Ɛ_A = ΔnY_A0 / a

Ɛ_A = (0.8)(0.75) / 1

Ɛ_A = 0.6

Calculando la presión total (P_T);

P_T = P_T0 (1 + Ɛ_AX_A) 

P_T = 10 atm (1 + 0.6)

P_T = 10 atm (1.6)

P_T = 16 atm

Efectivamente, como hemos dicho con anterioridad, la presión total al finalizar la reacción química es una compresión, pues inicialmente se tenia 10 atm y al finalizar tendríamos 16 atm.

E) El valor de la velocidad de reacción a los 300 seg.

La velocidad de esta en función de "K" y "C_A" como lo menciona la ecuación 1, la ecuación 6 nos ayudará a resolver -r_A ;

Puedes observar que los 300 seg, están implícitos en la ecuación, pues el valor de X_A fue calculada a los 300 seg.

F) La temperatura a la cual se debe operar el reactor para reducir la presión parcial inicial del reactivo a un cuarto de su valor en 600 seg, con igual alimentación y una energía de activación de 15 Kcal/mol.

Para los gases podemos colocar la concentración en función de la presión parcial

P_A = P_A0 - ^a/_aP_A0X_A

_{1 A → 0.8 R + 0.6 S + 0.4 T ; a = 1}

P_A = P_A0 - (1)P_A0X_A

P_A = P_A0 (1 - X_A) ... ec. 9

El problema menciona que la presión parcial es un cuarto de su valor, entonces la ecuación se ajusta a la siguiente manera

P_A = ¹/₄ P_A0 ... ec. 10

Sustituimos ec. 10 en ec. 9

¹/₄ P_A0 = P_A0 (1 - X_A)

¹/₄ = 1 - X_A

Despejamos X_A

- X_A = ¹/₄ - 1  multiplicamos (-1)

X_A = 1 - ¹/₄

X_A = 0.75

Una ecuación que contiene la Temperatura dentro de ella y al mismo tiempo la Energía de activación es la ecuación de Arrhenius;

Variables de la ecuación de Arrhenius

K : Constante cinética (dependiente de la temperatura)

A: Factor pre exponencial o factor de frecuencia. Indica la frecuencia de las colisiones.

Ea: Energía de activación

R: Constante universal de los gases

T: Temperatura absoluta [K]

Para ello tenemos que despejar la temperatura de esta ecuación, no sin antes haber calculado una constante de reacción K₂, a 600 seg, calcular la energía de activación, la actividad (ver arriba) y lograr hacer el despeje.

En la imagen de arriba se observa que consideramos que la constante de velocidad de reacción para una nueva temperatura deberá tener el mismo comportamiento, por tanto K1 = K2, por ello usamos la misma ecuación de K1 

Resolvemos la integral para obtener K2, a t = 600 seg = 10 min

Ahora podemos usar la ecuación 11, para tener una sola incógnita, la que nos interesa (la Temperatura);

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